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除了字符串匹配、查找回文串、查找重复子串等经典问题以外，日常生活中我们还会遇到其它一些怪异的字符串问题。比如，有时我们需要知道给定的两个字符串“有多像”，换句话说两个字符串的相似度是多少。1965年，俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了一个明确的定义叫做Levenshtein距离，我们通常叫它“编辑距离”。字符串A到B的编辑距离是指，只用插入、删除和替换三种操作，最少需要多少步可以把A变成B。例如，从FAME到GATE需要两步（两次替换），从GAME到ACM则需要三步（删除G和E再添加C）。Levenshtein给出了编辑距离的一般求法，就是大家都非常熟悉的经典动态规划问题。
    在自然语言处理中，这个概念非常重要，例如我们可以根据这个定义开发出一套半自动的校对系统：查找出一篇文章里所有不在字典里的单词，然后对于每个单词，列出字典里与它的Levenshtein距离小于某个数n的单词，让用户选择正确的那一个。n通常取到2或者3，或者更好地，取该单词长度的1/4等等。这个想法倒不错，但算法的效率成了新的难题：查字典好办，建一个Trie树即可；但怎样才能快速在字典里找出最相近的单词呢？这个问题难就难在，Levenshtein的定义可以是单词任意位置上的操作，似乎不遍历字典是不可能完成的。现在很多软件都有拼写检查的功能，提出更正建议的速度是很快的。它们到底是怎么做的呢？1973年，Burkhard和Keller提出的BK树有效地解决了这个问题。这个数据结构强就强在，它初步解决了一个看似不可能的问题，而其原理非常简单。

    首先，我们观察Levenshtein距离的性质。令d(x,y)表示字符串x到y的Levenshtein距离，那么显然：

1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y  （Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等）
2. d(x,y) = d(y,x)     （从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数）
3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)  （从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数）

    最后这一个性质叫做三角形不等式。就好像一个三角形一样，两边之和必然大于第三边。给某个集合内的元素定义一个二元的“距离函数”，如果这个距离函数同时满足上面说的三个性质，我们就称它为“度量空间”。我们的三维空间就是一个典型的度量空间，它的距离函数就是点对的直线距离。度量空间还有很多，比如Manhattan距离，图论中的最短路，当然还有这里提到的Levenshtein距离。就好像并查集对所有等价关系都适用一样，BK树可以用于任何一个度量空间。

    建树的过程有些类似于Trie。首先我们随便找一个单词作为根（比如GAME）。以后插入一个单词时首先计算单词与根的Levenshtein距离：如果这个距离值是该节点处头一次出现，建立一个新的儿子节点；否则沿着对应的边递归下去。例如，我们插入单词FAME，它与GAME的距离为1，于是新建一个儿子，连一条标号为1的边；下一次插入GAIN，算得它与GAME的距离为2，于是放在编号为2的边下。再下次我们插入GATE，它与GAME距离为1，于是沿着那条编号为1的边下去，递归地插入到FAME所在子树；GATE与FAME的距离为2，于是把GATE放在FAME节点下，边的编号为2。
      
    查询操作异常方便。如果我们需要返回与错误单词距离不超过n的单词，这个错误单词与树根所对应的单词距离为d，那么接下来我们只需要递归地考虑编号在d-n到d+n范围内的边所连接的子树。由于n通常很小，因此每次与某个节点进行比较时都可以排除很多子树。
    举个例子，假如我们输入一个GAIE，程序发现它不在字典中。现在，我们想返回字典中所有与GAIE距离为1的单词。我们首先将GAIE与树根进行比较，得到的距离d=1。由于Levenshtein距离满足三角形不等式，因此现在所有离GAME距离超过2的单词全部可以排除了。比如，以AIM为根的子树到GAME的距离都是3，而GAME和GAIE之间的距离是1，那么AIM及其子树到GAIE的距离至少都是2。于是，现在程序只需要沿着标号范围在1-1到1+1里的边继续走下去。我们继续计算GAIE和FAME的距离，发现它为2，于是继续沿标号在1和3之间的边前进。遍历结束后回到GAME的第二个节点，发现GAIE和GAIN距离为1，输出GAIN并继续沿编号为1或2的边递归下去（那条编号为4的边连接的子树又被排除掉了）……
    实践表明，一次查询所遍历的节点不会超过所有节点的5%到8%，两次查询则一般不会17-25%，效率远远超过暴力枚举。适当进行缓存，减小Levenshtein距离常数n可以使算法效率更高。

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             using namespace std;#define MAXEDIT 15class node {public: string word; node *next[MAXEDIT]; node() { memset(next, 0, sizeof(next)); }};string split(const string& str) { size_t pos = str.find(" ||| "); return str.substr(0, pos);}bool isalpha(const string& str) { for (int i = 0; i < str.size(); ++i) { if (!(str[i]>='a' && str[i] <='z' || str[i]>='A' && str[i] <='Z' )) return false; } return true;}int minTri(int a, int b, int c) { int rst = a; if (rst > b) rst = b; if (rst > c) rst = c; return rst;}int editDist(const string &str1, const string &str2) { vector
             
              
                > mat(str1.size() + 1, vector
               
                (str2.size() +1, 0)); for (int i = 1; i < str1.size(); ++i) mat[i][0] = i; for (int i = 1; i < str2.size(); ++i) mat[0][i] = i; for (int i = 1; i <= str1.size(); ++i) { for (int j = 1; j <= str2.size(); ++j) { int cost = 1; if (str1[i-1] == str2[j-1]) cost = 0; mat[i][j] = minTri(mat[i-1][j-1]+cost, mat[i-1][j] + 1, mat[i][j-1] + 1); } } return mat[str1.size()][str2.size()];}void insert(node* head, const string& str) { node *tmp = head; while (tmp) { int dis = editDist(tmp->word, str); if (dis == 0 || dis >= MAXEDIT) return; if (tmp->next[dis]) tmp = tmp->next[dis]; else { tmp->next[dis] = new node(); tmp->next[dis]->word = str; break; } } }void buildKDTree(node *head, const vector
                
                 & ls) { for (int i = 0; i < ls.size(); ++i) { insert(head, ls[i]); }}void freeKDTree(node* head) { for (int i = 0; i < MAXEDIT; ++i) { if (head->next[i]) { freeKDTree(head->next[i]); delete head->next[i]; head->next[i] = NULL; } }}void findN(node *head, const string & str,vector
                 
                  
                    >& rst, int n) { int d = editDist(head->word, str); if (d <= n && d != 0) { rst.push_back(make_pair(head->word,d)); } int minR = max(1, d - n); int maxR = min(MAXEDIT-1, d + n); for (int i = minR; i <= maxR; ++i) { if (head->next[i]) { findN(head->next[i], str, rst, n); } }}bool Cmp(const pair
                   
                    & p1, const pair
                    
                      &p2) { return p1.second < p2.second;}int main(int argc, char *argv[]) { if (argc != 3) { cout << "input output"<
                     
                       st; while(getline(fin, line)) { string word = split(line); if (isalpha(word) && word.size() > 1) st.insert(word); } vector
                      
                        ls(st.size()); set
                       
                        ::iterator it = st.begin(); int i = 0; for(; it != st.end(); ++it) ls[i++] = *it; node head; head.word = ls[0]; buildKDTree(&head, ls); for (i = 0; i < ls.size();++i) { if ((i+1)%5000 ==0) cout << i+1<
                        
                          > rst; int dist = min((int)ls[i].size()/2, 3); findN(&head, ls[i], rst, dist); ostringstream ostr; ostr<
                         
                          <<"\t"; sort(rst.begin(), rst.end(), Cmp); for (int j = 0; j < rst.size(); ++j) { ostr<
                          
                           <<" "; } fo<
                           
                            <
                           
                          
                         
                        
                       
                      
                     
                    
                   
                  
                 
                
               
              
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    
   

实际效果比之前写的多线程暴力慢多了.......

转载地址：http://dueti.baihongyu.com/